A TEORIA DE ÉVARISTE GALOIS

Vários artigos e fragmentos das ideias de Galois foram publicadas em 1846, junto com a ultima carta de Chevalier no Journal de Marhématiques, isto foi o inicio para a divulgação da teoria de Évariste Galois sobre a resolubilidade de uma equação, “para que uma equação irredutível de grau primo possa ser resolvida por radicais é necessário e suficiente que todas as suas raízes sejam funções racionais de duas quaisquer dentre elas”. (BOYER, 1996, p.365).

Com essa teoria, Galois demonstrou que para uma equação algébrica do quarto grau tenha solução é necessário estabelecer impossibilidades na sua resolução, assim Évariste mostrou que a resolução de uma equação não depende do seu grau, mas sim do seu grupo.  O principal objetivo de sua teoria é demonstrar quando estas equações são resolvidas por radicais.

Em suas pesquisas Galois observou que as equações de Gauss com grau primo n é irredutível até que seja feita uma junção com as raízes das equações auxiliares. Com isso Gauss, estabeleceu critérios para a construção de polígonos regulares e resolve,

a questão da solubilidade da equação   em termos de operações racionais e raízes quadradas dos coeficientes. Galois generalizou o resultado fornecendo critérios para a resolubilidade de  em termos de operações racionais e raízes enésimas dos coeficientes. Seu método de ataque do problema, hoje chamado de teoria de Galois é como alho, no sentido que não há algo como um pouco dele. É preciso fazer um estudo substancial para apreciar o raciocínio - como as experiências de Galois com seus contemporâneos mostraram. No entanto podemos indicar de modo geral o que está atrás da teoria de Galois e por que ela é importante. (BOYER, 1996, p.366)

Évariste Galois iniciou seus estudos a partir do trabalho de Lagrange sobre as permutações das raízes de uma equação polinomial e com base na prova de Abel sobre a insolubilidade das equações de grau cinco por radicais. Assim, “Galois descobriu que uma equação algébrica irredutível é resolúvel por radicais se e só se seu grupo – isto é, o grupo simétrico sobre suas raízes - é resolúvel.” (BOYER, 1996, p.366).

A teoria de Galois fornece um algoritmo para achar as raízes de uma equação, quando estas podem ser expressas por radicais, mas o ponto principal da teoria de Galois está no enfoque dado às estruturas algébricas do que o tratamento dado aos casos específicos. Suas ideias não sofrerem influencias de outros algebristas até serem divulgadas em 1846.

Galois foi o primeiro a fazer o estudo dos grupos em 1830, suas pesquisas foram levadas adiante por Augustin-Louise Cauchy (1789-1857) e outros pesquisadores. O estudo dos grupos rapidamente se desenvolveu, a ideia de grupo:

veio a alcançar um grande papel codificador em geometria e em álgebra serviu como uma estrutura atômica de coesão, fator de grande importância para a ascensão da álgebra abstrata no século XX. A teoria dos grupos ainda é, nesta segunda metade do século XX, um campo de pesquisas muito produtivo em matemática. (EVES, 2004, p. 536)